M�bius
Maurits Cornelis Escher, Niederlande
Reiter, Ausschnitt
Holzschnitt, 1946, Maße unbekannt (Der Zauberspiegel des M.C. Escher, Seite 100)
Im letzten Galeriebeitrag (› Bildgalerie) habe ich den Reiter gebracht, der die Fläche ausfüllt - oder genauer gesagt, eine Flächenaufteilung von Escher gezeigt, die aus eben diesem Reiter gebildet wurde, der zusammen mit seinem Spiegelbild die Fläche vollständig ausfüllt. Ich hatte dabei schon diesen Holzschnitt im Sinn, der noch etwas mehr zeigt als die Flächenpflasterung, wie man an diesem Ausschnitt bereits erkennen kann.
Eine Fläche wird im Prinzip als unendlich gedacht. Durch Verschiebung der hellen und dunklen Reiter entlang einer waagerechten Achse kann man die gesamte Figur immer wieder zur Deckung bringen. Beide Reiter können ebenfalls zur Deckung gebracht werden, allerdings ist der Mechanismus etwas komplexer. Man muß einen Reiter nämlich zunächst an einer Senkrechten zur Gleitachse spiegeln und die entstandene Figur dann noch einmal entlang dieser Senkrechten verschieben, um die Deckung zu erreichen. Wenn dabei auch noch die Farbe sich ändert, haben wir wieder eine vollständige Deckung. Das geht natürlich auch mit dem gesamten Flächenmuster, nicht nur mit einer einzelnen Figur.
Bei diesem Bild wird die Fläche jedoch nicht vollständig bedeckt - oben und unten ist einfach nur Hintergrund sichtbar. Außerdem setzt sich die Reihe der Reiter nur ganz oben und ganz unten fort; die beiden Reihen in der Mitte bestehen aus jeweils nur zwei Reitern. Die ganze Sache ist hier also offenbar anders gelagert.
Maurits Cornelis Escher, 1898-1972
[...] wurde am 17.6.1898 als jüngster Sohn des Hydraulik-Ingenieurs G. A. Escher in Leeuwarden geboren. Er starb am 27.3.1972 in Laren, Nord-Holland.
Nach eigenen Aussagen [...] ohne große mathematische Begabung, gelang es Escher dennoch in seinem künstlerischen Werk, einige abstrakte geometrische Ideen graphisch sehr ansprechend umzusetzen, so daß seine Bilder vor allen Dingen bei Mathematikern - jedoch keinesfalls nur bei diesen - überaus bekannt und beliebt sind.
Wie viele Grafiker vor ihm beschäftigte er sich mehrfach mit den Möglichkeiten der perspektivischen Darstellung, wobei er jedoch ganz eigene Lösungen fand. Dies hat Bruno Ernst ausführlich in der Analyse der Lithographien Treppenhaus und Oben und Unten in seinem Buch Der Zauberspiegel des M. C. Escher beschrieben. Das Thema der perspektivischen Darstellung hat Escher auch um einige sehr kunstvolle Darstellungen "unmöglicher Körper" bereichert, was u. a. durch den Tribar des Mathematikers Roger Penrose inspiriert wurde. Hierbei handelt es sich um die zweidimensionale Darstellung eines dreidimensional unmöglichen Gegenstandes, der aus drei Stäben gebildet wird, die ein räumliches "Dreieck" mit drei rechten Winkeln bilden. Penrose gab eine Zeichnung hiervon im Jahre 1958 in der Zeitschrift British Journal of Psychology (Band 49) an.
In einer ganzen Reihe von Werken hat Escher auch einzelne mathematische Objekte dargestellt, wie Spiralen, Knoten, Möbiusbänder und regelmäßige Körper. Dieses letzte Thema wurde wahrscheinlich durch die Arbeit seines Bruders B. G. Escher, einem Professor für Geologie an der Universität Leiden, stimuliert.
Das zentrale (mathematische) Thema in Eschers Gesamtwerk ist aber die "regelmäßige Flächenaufteilung", über die er auch ein eigenes Buch verfaßt hat. Es war wiederum sein Bruder, der ihm "das Tor zu einem mathematischen Garten" öffnete, als er ihn mit den Arbeiten der Mathematiker George Polya Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene und F. Haag Die regelmässigen Planteilungen und Punktsysteme bekannt machte. (» Escher, Maurits Cornelis)
Kommentar
Von  › Werner Popken
Das Problem der vollst�ndigen Bedeckung der Fl�che interessiert die Mathematiker. Wie viele verschiedene Methoden gibt es, eine Fl�che vollst�ndig zu Bedeckung? Diese Frage ist eine mathematische Frage und kann mit mathematischen Mitteln beantwortet werden.
Escher war anscheinend kein Mathematiker, obwohl er sich mit Problemen besch�ftigt hat, die sonst nur Mathematiker interessieren. Er hat intuitiv s�mtliche M�glichkeiten der Fl�chenbedeckung entdeckt, war aber an der grunds�tzlichen Antwort gar nicht interessiert. Ihn interessierten die konkreten Ausformungen, in diesem Falle also der Reiter und sein Schatten.
Die maurischen K�nstler hatten mit ihren abstrakten Formen die mathematische Frage ebenfalls indirekt beantwortet. Die Mathematiker wiederum interessieren sich nicht f�r die konkreten Formen. Ob die Fl�che nun mit abstrakten Mustern, wie bei den Mauren in Spanien, die Escher angeregt hatten, oder mit mehr oder weniger stilisierten Figuren, die eine inhaltliche Bedeutung haben, bedeckt wurde, ist f�r die Mathematiker vollst�ndig ohne Belang. Die interessieren sich nur f�r das Prinzip dahinter und wollen den Sachverhalt kennen sowie den dazugeh�rigen Beweis.
M�biusband
| | | Möbiusband I, Holzstich, 1961 |  | | |
|
| "1960 regte mich ein englischer Mathematiker, dessen Name ich vergessen habe, an, ein Bild mit einem Möbius-Band zu machen. Zu dieser Zeit wußte ich kaum, was das war."
Im Hinblick auf die Tatsache, daß Escher schon 1946 in seinem farbigen Holzschnitt "Reiter" und dann 1956 in dem Holzstich "Schwäne" Figuren von beträchtlichen topologischen Interesse und nahe Verwandtschaft mit den Möbius-Bändern ins Spiel brachte, brauchen wir diese Äußerung von ihm nicht allzu wörtlich zu nehmen. Der Mathematiker hatte ihn darauf verwiesen, daß ein Möbius-Band mit einer halben Drehung vom mathematische Standpunkt aus gesehen einige merkwürdige Eigenschaften hat: Es kann zum Beispiel der Länge nach durchgeschnitten werden, ohne daß es in zwei Ringe zerfällt, und es hat nur eine Seite mit einem Rand. Escher macht die erste Eigenschaft 1961 in Möbiusband I sichtbar und die zweite, die eng damit zusammenhängt, 1963 in Möbiusband II.
Der Zauberspiegel des M.C. Escher, Seite 99 | | |
Wenn man Google nach M�bius fragt, erh�lt man nur etwa 1800 Seiten auf deutsch und englisch. Alle besch�ftigen sich mit dem ber�hmten M�biusband. Der Landesbildungsserver Baden-W�rttemberg wartet mit einer Projektbeschreibung auf; Kennzeichen eines Projektes in der Schule ist, da� man sich dem Thema von vielen verschiedenen F�chern aus n�hern kann (» Das M�bius Projekt).
Wie Escher kann man ein M�biusband zeichnen. Man kann es stricken (» Lust auf Farben) oder programmieren (» das M�biusband als Extrusionsobjekt) oder bedichten (» M�biusband). Man kann sogar philosophische oder religi�se �berlegungen dar�ber anstellen (» Inszenierung und Vergegenw�rtigung).
Man kann ein Schmuckst�ck daraus machen (» M�bius'sches Band), sich fragen, wie es sich auf einem M�biusband lebt (» Begegnungen auf dem M�biusband), einen Film dar�ber drehen (Argentinien 1995,  » August Ferdinand M�bius), es als Kunstwerk verarbeiten (» Mathematik und Kunst), aus Legosteinen nachbauen (» Mobius Strips), es als Metapher verwenden ("Die �sterreichische Autorin sieht sich als Avantgardistin und f�hrt Achterbahn im M�biusband der weiblichen Identit�ten.", » Nichts als Worte) - das M�biusband ist anscheinend sehr popul�r.
» August Ferdinand M�bius, der Namensgeber, war Astronom und Mathematiker (1790-1868) und hat dieses Objekt zehn Jahre vor seinem Tode entdeckt und sieben Jahre sp�ter ver�ffentlicht. Eine sch�ne Arbeitsanleitung mit illustrativen Fotos findet man unter » M�biusband. Die Bildungsexperten raten:
| | | Computer-Grafik nach Escher: Möbiusband II | | | |
|
| | Das didaktisch geschickteste Beispiel für ein Möbiusband ist ein ganz normaler Gürtel: man legt den Gürtel in der (normalen) Ringform. Bevor man jedoch die Schnalle schließt, wendet man das lose Ende um 180° - fertig ist das Möbiusband! » Das M�bius Projekt | | |
Warum so viel Theater um dieses Objekt? Es l��t sich verbl�ffend einfach herstellen, hat aber sehr merkw�rdige Eigenschaften: Eine dreidimensionale Fl�che, die unbegrenzt, aber berandet ist, nur eine Seite hat und nur einen Rand. Alle Spiegelbilder sind deckungsgleich.
Man kann das sehr leicht nachvollziehen, indem man ein M�biusband statt aus einem G�rtel aus einem Streifen Papier herstellt. Wenn man mit einem Filzstift den Rand bemalt, wird man feststellen, da� diese Fl�che nur einen Rand hat, weil man wieder an der Stelle ankommt, wo man begonnen hat, und dann der gesamte Rand bemalt ist.
Genau dasselbe passiert, wenn man die Fl�che einf�rbt. Zun�chst wird die eine Seite farbig, die andere Seite, die R�ckseite, bleibt wei�. Man f�rbt weiter, und irgendwann kommt man wieder an der Stelle an, wo man begonnen hat, und alles ist eingef�rbt, es gibt keine R�ckseite mehr. Das bekannte Escher-Blatt M�biusband II mit den Ameisen illustriert das sehr sch�n. Wenn man mit den Ameisen wandert, sieht man, da� das Band nur eine Seite hat.
Es gibt kein oben und kein unten, kein links und kein rechts - der Rand, den ich zu meiner rechten Seite habe, wenn ich das M�biusband entlang wandere, ist ja derselbe Rand, den ich zu meiner linken sehe. Die Sache ist ziemlich �bersichtlich, wenn wir uns mit einem G�rtel besch�ftigen oder einem Papierstreifen - was aber, wenn diese Fl�che so gro� ist, da� wir den Rand gar nicht sehen k�nnen?
Unter » Streng vertraulich - Akte 15/981113 - 4/13 findet sich die "Mitschrift des Vernehmungsprotokolls zum Verschwinden von Andreas Hirn am 13.11.98", wo der Zeuge des Verschwindens von Andreas Hirn dem HK Bernd Schr�der erkl�rt, da� der Vorfall passierte, kurz nachdem die beiden die Frage diskutiert hatten, ob das M�biusband eine oder zwei Seiten hat. Andreas Hirn war wie der Hauptkommissar der Meinung, da� es zwei Seiten haben m�sse, w�hrend der Zeuge anderer Meinung war. Und pl�tzlich war sein Gespr�chspartner verschwunden...
Reiter
Dieses M�biusband und die Reiter haben es in sich. Wenn man dieses Band entlang der Mittellinie aufschneidet (wie bei M�biusband I), diesen Vorgang gar wiederholt, erh�lt man wiederum sehr eigenartige dreidimensionale Fl�chen (» M�bius-Band (3): Aufl�sung der Fragen).
Ich versuchte, die Sache zu verstehen, und mu�te kapitulieren. Daher griff ich zu Papier und Schere, um meinen Kopf klar zu bekommen, schnitt einen etwa 2 cm breiten Streifen von der langen Seite eines A4-Blattes ab, langte nach einem Klebestift, bog den Streifen zu einem Ring, verdrehte eine Seite um 180 Grad und klebte die beiden Enden zusammen.
Ich schlage vor, da� Sie es mir nachmachen. Es ist eine aufregende Sache! Der Escher-Experte schreibt:
| Schneiden wir ein gewöhnliches zylindrisches Band der Länge nach durch, erhalten wir zwei neue zylindrische Bänder, von denen jedes für sich genommen werden kann. Wenn wir dasselbe mit einem Möbiusband versuchen, wenn wir nicht zwei einzelne Teile erhalten - es bleibt ein Ganzes. Escher demonstriert dies in Möbiusband I, wo wir drei Schlangen sehen, die sich in den Schwanz beißen.
Der Zauberspiegel des M.C. Escher, Seite 100 | | |
Als m�nnliches Wesen sollte ich im r�umlichen Denken begabt sein und mir die Eschersche Zeichnung gem�� dieser Beschreibung sehr leicht vorstellen k�nnen. Ich sehe zwar den Schnitt im Originalband, mu� mich aber doch sehr anstrengen, wenn ich das (gedanklich) unzerschnittene Band als M�biusband erkennen will. Das zerschnittene Band dann gedanklich auseinanderzuziehen, wie der Autor das vorschl�gt, will mir gar nicht gelingen.
Ein fertiges M�biusband zu zerschneiden ist keine Kunst. Man sieht leicht, da� das zerschnittene M�biusband die Form einer dreidimensionalen Acht hat. Die Natur meines zerschnittenen M�biusbandes konnte ich hingegen nicht so leicht einsehen. Der Autor spricht von zwei Halbdrehungen. Ist das nicht eine ganze Drehung? Schlie�lich fiel mir auf, da� die Klebestelle jetzt doppelt vorkommt - daher die beiden Halbdrehungen. Verstanden habe ich die Sache aber trotzdem noch nicht. Mein eigenes M�biusband sah nicht so aus wie die unzerschnittenen Schlangen, und das zerschnittene M�biusband kann ich weder praktisch noch gedanklich in die Form der Escherschen Schlangen bringen.
Das ganze Experiment mu�te ich machen, weil ich unsere Reiter verstehen wollte, denn der Autor f�hrt fort:
| In Reiter, einem Drei-Farben-Holzschnitt von 1946, sehen wir ein Möbiusband mit zwei Halbdrehungen. Wenn man für sich selbst ein solches machen will, wird man bemerken, daß es automatisch in die Form einer räumlichen 8 übergeht.
Dieses Band hat deutlich zwei Seiten und zwei Ränder. Escher hat die eine Seite rot und die andere blau gefärbt. Er stellte es sich vor als ein Stoffband mit einem eingebetteten Muster von Reitern. Kette und Schluß sind aus blauen und roten Fäden, so daß die eine Seite der Reiter blau, die andere rot erscheint. Die Vorder- und Rückseite eines Reiters sind Spiegelbilder voneinander; das ist nichts Ungewöhnliches, denn es könnte von jeder beliebigen Figur gesagt werden. Aber nun beginnt Escher das Band zu manipulieren, so daß eine topologisch ganz andere Figur entsteht. In der Mitte der 8-Figur verbindet er die beiden Teile des Bandes auf solche Weise, daß die Vorder- und Rückseite vereint werden. Wie können dies in unserem Papiermodell nachmachen, wenn wir mit Hilfe von Klebeband die Mitte der 8-Figur zu einer Fläche machen. Von einem rein topologischen Gesichtspunkt aus müßten wir nun eine der beiden Farben fallenlassen, aber eben das ist Eschers Absicht nicht. Er will zeigen, wie die roten Reiter im unteren Bildteil zusammen mit den blauen, die ihr Spiegelbild sind, die Oberfläche völlig ausfüllen. Dies ist in der Bildmitte erreicht. | | |
Hier hatte ich nicht aufgepa�t und mu�te deshalb basteln - aber selbst wenn ich aufgepa�t h�tte, h�tte ich es vermutlich nicht geglaubt. Bei unseren Reitern haben wir offensichtlich eine Vorderseite und eine R�ckseite. Wie kann das sein, wo doch das M�biusband nur eine Seite hat? Das Experiment zeigte sofort, da� Escher recht hat. Ich fuhr mit dem Bleistift auf meinem Papier entlang und kam wieder zum Ausgangspunkt zur�ck - siehe da, die R�ckseite war leer. Das Experiment mit den R�ndern habe ich mir dann geschenkt.
Es ist mir nicht gelungen, die Eschersche Figur als Modell zu bekommen, wie der Autor nahelegt. Meine Figur scheint genau spiegelverkehrt zu sein. Woran das nun wieder liegt? W�re ich ein Mathematiker, w�rde mich das interessieren, und ich w�rde nicht l�nger ruhen, bis ich diese Frage verstanden und gekl�rt h�tte. So aber wundere ich mich und lasse die Sache auf sich beruhen. Was es nicht alles gibt!
Vor zwei Jahren haben japanische Wissenschaftler erstmals Kristalle gez�chtet, die die Form eines normalen Ringes, eines einfach verdrehten oder gar achtfach verdrehten M�biusbandes haben; "Die Forscher gehen davon aus, dass die kristallinen M�biusschleifen bei der Erforschung topologischer Effekte der Quantenmechanik eine wichtige Funktion haben und auch beim Aufbau bisher unbekannter Molekularstrukturen n�tzlich sein k�nnen." (» Kristallines M�biusband gez�chtet).
Quellen / Verweise
- Der Zauberspiegel des M.C. Escher, Bruno Ernst
Berlin, 1986, TACO Verlagsgesellschaft und Agentur mbH - › Bildgalerie, Galeriebeitrag Ausgabe 273
- � Escher, Maurits Cornelis
- � Das M�bius Projekt
- � Lust auf Farben
- � das M�biusband als Extrusionsobjekt
- � M�biusband
- � Inszenierung und Vergegenw�rtigung, �sthetische und religi�se Erfahrung heute. Ein Ausstellungsf�hrer
- � M�bius'sches Band
- � Begegnungen auf dem M�biusband
- � August Ferdinand M�bius
- � Mathematik und Kunst, M�bius-Band
- � Mobius Strips
- � Nichts als Worte
- � M�biusband
- � Streng vertraulich - Akte 15/981113 - 4/13
- � M�bius-Band (3): Aufl�sung der Fragen
- � Kristallines M�biusband gez�chtet, Wichtige Funktion bei der Erforschung topologischer Effekte der Quantenmechanik
- › Im Namen des Volkes: Zum Huf, Bundesverfassungsgericht st�rkt Freiheit der Berufswahl
 › Ausgabe 452 · Teil 1 - › Der Huf - mit und ohne Technik, �ber das Vertrauen in den Barhuf
› Ausgabe 453 · Teil 2 - › Hochleistungs-Barhufe, Hufe nach 130 km in bester Verfassung
› Ausgabe 454 · Teil 3 - › Mein Pferd geht barfu� und f�hlig, �ber die elementaren Funktionen des Hufes
› Ausgabe 457 · Teil 4 - › Barfu� - Glaubensfrage?, �ber die Einordnung eines kontroversen Themas
› Ausgabe 458 · Teil 5 - › Meine Box - deine Box, �ber die Entwicklung von Erfahrung und Wissen
› Ausgabe 459 · Teil 6 - › Das Geheimnis des Hufs, �berraschende Erfahrungen in der Wildnis
› Ausgabe 460 · Teil 7 - › Das Pferd, das unbekannte Wesen, �ber den Beginn eines neuen Zeitalters
› Ausgabe 463 · Teil 8
| |
Fotos
› Werner Popken
| |
› Pferdemarkt
› Anzeigenmarkt
› Textwerbung
neu: jetzt auch unter
EquiVoX.de
›RSS
› Menü
› Hilfe-FAQ
› Login
› Bücher
› Notizen
› Presse
› Termine
Bildmaterial 
Informationen 
Menü Archiv 
› Neurod 
› Neue Messeseite 
› Gesamttext 
› Druckversion 
› Lesezeichen 
Magazin
› voriger Galeriebeitrag 
› Übersicht Kunstgalerie 
› nächster Galeriebeitrag 
› Home 
› Drucken 
› als Startseite
›Impressum
0049(0)5744-5115-74 
0049(0)5744-5115-75 
0049(0)151-2327 3955
ISIS Messe & Pferdeverlag · Büttendorfer Str. 342 · 32609 Hüllhorst 
